PARABOL

A. TANIM

 olmak üzere,  tanımlanan
f(x) = ax² + bx + c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.

      

kümesinin elemanları olan ikililere, analitik düzlemde karşılık gelen noktalara f fonksiyonunun grafiği denir.

İkinci dereceden bir değişkenli fonksiyonların grafiklerinin gösterdiği eğriye parabol denir.

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiği (parabol), yandaki gibi kolları yukarı doğru olan ya da kolları aşağı doğru olan bir eğridir.

Kural

fonksiyonunun grafiğinin (parabolün);   y eksenini kestiği noktanın; apsisi 0 (sıfır), ordinatı f(0) = c dir.   x eksenini kestiği noktaların (varsa) ordinatları 0, apsisleri f(x) = 0 denkleminin kökleridir.

Kural

denkleminde,  D = b2 – 4ac olmak üzere,   D > 0 ise, parabol x eksenini farklı iki noktada keser.   D < 0 ise, parabol x eksenini kesmez.   D = 0 ise, parabol x eksenine teğettir.

B. PARABOLÜN TEPE NOKTASI

Şekildeki parabollerin tepe noktaları T(r, k) dir.

Parabol x = r doğrusuna göre simetrik olan bir şekildir. Bunun için, parabolün x eksenini kestiği noktaların apsisleri olan x₁ ile x₂ nin aritmetik ortalaması r ye eşittir. Bu durumu kuralla ifade edebiliriz.

Kural

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğinin (parabolün) tepe noktası T(r, k) ise,

Sonuç

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğinin (parabolün) tepe noktası T(r, k) ise, bu parabolün simetri ekseni x = rdoğrusudur.

Uyarı

f(x) = ax2 + bx + c ifadesi ikinci dereceden fonksiyonunun en genel halidir. Bu fonksiyon düzenlenerek f(x) = a(x – r)2 + k hâline dönüştürülürse, tepe noktasının T(r, k) olduğu görülür.

Kural

fonksiyonunun grafiğinde (parabolde),  a > 0 ise kollar yukarıya doğru,  a < 0 ise kollar aşağıya doğrudur. Buna göre, f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir: Parabolün en alt ya da en üst noktasına tepe noktası denir.

C. PARABOLÜN GRAFİĞİ

f(x) = ax² + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için sırasıyla aşağıdaki işlemler yapılır:

1) Parabolün eksenleri kestiği noktalar bulunur.

2) Parabolün tepe noktası bulunur.

3) Parabolün kollarının aşağı veya yukarı olma durumuna göre, kesim noktaları ve tepe noktası koordinat düzleminde gösterilip, bu noktalardan geçecek biçimde grafik çizilir.

Kural

A)  olmak üzere, parabolün tepe noktası T(r, k) olsun.   a < 0 ise, y alabileceği en büyük değer k dir.   a > 0 ise, y nin alabileceği en küçük değer k dir.  B) Parabolün tanım aralığı  yani gerçel sayılar kümesi değil de [a, b] biçiminde sınırlı bir gerçel sayı aralığı ise fonksiyonun en büyük ya da en küçük elemanını bulmak için ya şekil çizerek yorum yaparız. Ya da aşağıdaki işlemler yapılır:   f(x) in tepe noktasının ordinatı, yani k bulunur.   f(a) ile f(b) hesaplanır.   a. Tepe noktasının apsisi [a, b] aralığında ise; k, f(a), f(b) sayılarının, en küçük olanı f(x) in en küçük elemanı; en büyük olanı da f(x) in en büyük elemanıdır.   b. Tepe noktasının apsisi [a, b] aralığında değil ise; f(a), f(b) sayılarının, küçük olanı f(x) in en küçük elemanı; büyük olanı da f(x) in en büyük elemanıdır.

D. PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI

Bir parabolün denklemini tek türlü yazabilmek için, üzerindeki farklı üç noktanın bilinmesi gerekir.

(a, b), (m, n) ve (k, t) noktaları y = f(x) parabolü üzerinde ise;

b = f(a), n = f(m), t = f(k) eşitlikleri kullanılarak parabolün denklemi bulunur.

Kural

x eksenini x1 ve x2 noktalarında kesen parabolün denklemi,       f(x) = a(x – x1)(x – x2) dir.

Kural

Tepe noktası T(r, k) olan parabolün denklemi,       y = a(x – r)2 + k dir.

E. EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİNİN GRAFİKLE ÇÖZÜMÜ

Bir eşitsizliği sağlayan tüm noktaların koordinat düzleminde taranmasıyla, verilen eşitsizliğin grafiği çizilmiş olur.

kümesinin analitik düzlemde gösterimi:

kümesinin analitik düzlemde gösterimi:

F. İKİ EĞRİNİN BİRLİKTE İNCELENMESİ

y = f(x) ile y = g(x) eğrisinin birbirine göre üç farklı durumu vardır.

f(x) = g(x) denkleminin, tek katlı köklerinde eğriler birbirini keser; çift katlı köklerinde birbirine teğettir. Eğer f(x) = g(x) denkleminin reel kökü yoksa, eğriler kesişmez.

Özel olarak,

f(x) = ax² + bx + c parabolü ile y = mx + n doğrunun denklemlerinin ortak çözümünde elde edilen,

ax² + bx + c = mx + n

ax² + (b – m)x + c – n = 0

denkleminin diskriminantı D = (b – m)² – 4a(c – n) olsun.

D > 0 ise parabol ile doğru iki farklı noktada kesişir.

D < 0 ise parabol ile doğru kesişmez.

D = 0 ise doğru parabole teğettir.

Kaynak:http://www.matematik.tc

MATEMATİK ARTIK HAYAT KURTARIYOR

Matematik Artık Hayat Kurtarıyor…

 

Matematik ve istatistiksel modeller, artık modern tıbbın bir parçası. Gelişmiş ülkelerde kanser, kalp krizi, AIDS gibi hastalıkların teşhis ve tedavisinde kullanılan matematiksel
tıp disiplini, Türkiye için yeni bir alan.

‘Bu dersin bize ne faydası var?’ Matematik öğretmenlerinin en çok karşılaştığı sorulardan biri bu. Çoğumuz matematiği anlamaya çalışmak yerine bu sorunun cevabına kafa yorduk, eğitim sürecinde. Günlük hayatımızda basit hesapların dışında yeri yoktu çünkü! Hocaların “Matematik muhakemeyi geliştirir.” sözü ise ikna edici gelmiyordu. İşte şimdilerde bir ezber bozuluyor. Gelişen teknolojiyle matematik de hayatın içinde yer almaya başlıyor. Daha doğrusu, bu gerçek, matematiğe mesafeli duranların bile anlayabileceği şekilde kendini gösteriyor artık.

Tıptan işletme yönetimine kadar birçok farklı disiplinle ara kesit oluşturan bu bilim dalı, önemini daha da artırmış durumda. Örneğin tıpla birleşmesinden oluşan yeni ‘matematiksel tıp’ bilimi erken tanıda, hatta tedavide önemli bir işlev görüyor. Matematiksel tıbbın geliştirdiği yöntemler, kanser ve kalp hastalıklarından hücre modellerine kadar tıbbın birçok alanında kullanılıyor. Matematiksel yaklaşımlar klinik çalışmalarda olduğu kadar, hastane ve sağlık kuruluşlarının yönetimlerinde de başarılı sonuçlar veriyor.

ABD, Kanada, İngiltere ve İsrail gibi bazı ülkeler matematiksel tıp disiplinine ayrı bir önem veriyor. Üniversitelerde açılan ayrı fakülte ve enstitülerle yetinmeyen bu ülkeler büyük bütçeli özel araştırma merkezleri de kuruyor. Hatta bazı hastaneler matematiksel tıp üzerine ayrı birimler açıyor. Klinik ve sağlık sistemlerinde kullanılması durumunda etkinlik ve verimliliği artıran, özellikle çağımız hastalıklarından kanser, AIDS ve kalp sorunlarının tedavisinde kullanılan bilim henüz ülkemizde bilinmiyor. Medikal istatistik alanında çalışmalarıyla bilinen Tennessee Üniversitesi İstatistik Bölümü Öğretim Üyesi Prof. Dr. Hamparsum Bozdoğan (64), bu bilimin daha da gelişeceğine, tıbba önemli katkılar sağlayacağına vurgu yapıyor. Tabii bir de hatırlatmada bulunuyor: “Türkiye’deki sağlık sektörü ve kamunun bu alana yatırım yapması ülke için önemli bir adım olur. Bu konuda başarı sağlanabilmesi için tıp, matematik, istatistik ve veri madenciliği bilimleri ile uğraşan bilim adamlarının ortak çalışma yapması gerekiyor. Bu şekilde başarı sağlanır ve Türkiye bu alanda geri kalmamış olur.”

Bu noktada akla bazı sorular geliyor: Matematiksel modeller tıpta nasıl kullanılıyor? Matematiksel tıp insanoğluna ne gibi faydalar sağlayacak? Bu ve benzeri soruları Türkiye’de ‘matematiksel tıp’ ve ‘sağlık sistemleri mühendisliği’ alanlarında çalışan sayılı akademisyenlerden Doç. Dr. Eyüp Çetin’e sorduk. İstanbul Üniversitesi İşletme Fakültesi Sayısal Yöntemler Anabilim Dalı Öğretim Üyesi Doç. Dr. Çetin’in (34) anlattıkları bu bilim dalının anlaşılması açısından oldukça önemli.

-Matematiksel yaklaşımlar sağlık alanında ne ifade ediyor?

Tıbbi kaynakların son derece kısıtlı olması, var olan kaynakların da etkin kullanılamaması sonucu dünyada her yıl yüz binlerce kişi hayatını kaybediyor. Tıpta ve sağlık sistemlerinde sayısal (kantitatif) tekniklerin kullanılması ile hasta kayıpları azaltılabiliyor. Yani hayat kurtarılıyor. Matematiksel ve istatistiksel yöntemlerin aktif hâle getirilmesi önlenebilir hataları da büyük ölçüde azaltıyor. Bir araştırmaya göre, önlenebilir hataların yüzde 98’inin sistemden kaynaklanıyor. Dolayısıyla, hem klinik uygulamaların hem de sağlık sistemlerinin etkinliğinin sorgulanması gerekiyor. Bu noktada, matematiksel modeller imdada yetişerek tıpta ve sağlık hizmetleri planlamalarında çok etkili bir araç oluyor.

-Matematiksel modeller nasıl hayat kurtarabiliyor?

Günümüzde tıp ile matematiğin kesiştiği alanlar arttı. Matematiksel bilimler tıbbın klinik problemlerinin çözümünde etkin olarak kullanılıyor. Mesela, artık ‘matematiksel onkoloji’ adı verilen bir alt disiplin doğdu. Bu bilim dalı tümörün gelişimi, davranışlarının tanımlanması, incelenmesi, teşhisi ve tedavisinde destekçi. Çok başarılı uygulamalar var. Kanser prognoz yöntemleri, anjiyogenez, pH düzenleme, hücre-hücre yapışması, hücre-ilaç etkileşimleri, radyoterapi ve kemoterapi planlama akla ilk gelenler. Örneğin, ölümcül gliyoblastom (beyin tümörü) vakasında kullanılmak üzere 2000’de geliştirilen bir diferansiyel denklemden oluşan matematiksel model tedavide başarı sağladı. Geliştirilen bu model tümörün hangi yöne doğru yayılacağını çok sıhhatli bir şekilde ortaya koyuyor. Böylece, radyoterapi ve cerrahi operasyonlar daha başarılı planlanarak, hastanın daha uzun yaşaması sağlanıyor.

-Hastalıkların teşhisinde bu yöntemler nasıl kullanılıyor?

Başarılı uygulamalar var, teşhis ve tedavide. Örneğin prostat kanserinde biyopsi iğnelerinin sayısı ve hangi bölgeye hedefleneceği sorunu vardır. Doğal olarak mümkün olan az iğne sayısı ile en fazla oranda kanserli hücreyi yakalamak arzu edilir. 2003’te ABD’de yapılan bir çalışmada, prostat kanserini teşhis etme olasılığını maksimize eden bir optimal biyopsi protokol modeli geliştirildi ve daha az iğne ile daha yüksek oranda kanserli hücreler teşhis edilebildi.

-Peki tedavide durum nasıl?

Şüphesiz birçok matematiksel model var literatürde. 2006’da yaptığımız ve ABD’de önemli bir dergide yayımlanan çalışmamızı örnek olarak verebilirim. Bu çalışmada kanser hücrelerinin toplam tahribatını maksimize ederken aynı zamanda doza bağlı tüm yan etkileri ve maliyetleri minimize ettik. Biliyorsunuz, kanser tedavisindeki yan etkiler ileride ölümcül vakalara sebep olabiliyor. Geliştirdiğimiz model her ne kadar immüno, kemo ve radyoterapiden oluşan kompakt bir tedavi modeli olsa da mesela radyoterapi modeline kolayca indirgenebilmekte.

-Başka ne gibi klinik uygulamalar var?

Matematiksel modeller genel olarak kanser üzerinde yoğunlaşıyor. Ancak diğer klinik alanlarda da varlık gösterebiliyor. Örneğin tıbbi biyoloji, nöroloji, pediatri ve psikiyatride sayısal yöntemler kullanılıyor. Matematiksel tıp açısından kardiyoloji açık bir alan.

-Modellerin hastane ve sağlık kuruluşlarının yönetiminde de etkin kullanıldığını söylediniz. Bunu biraz açar mısınız?

Karar verme probleminin olduğu hemen her yerde matematiksel modeller kullanılabilir. Optimal hastane yeri seçimi, hekim/hemşire nöbetlerinin çizelgelenmesi, optimal personel atama, optimal fiyatlandırma, hasta kuyruklarının analizi, ameliyathane hizmetlerinin optimizasyonu, hastanelerde enfeksiyon kontrolü, etkinlik analizleri gibi birçok probleme çözüm bulabiliyoruz sayısal yaklaşımlarla. Diğer taraftan, epidemiyolojik, aşı ve biyoterör modelleri ile kan ve organ dağıtım modelleri gibi çalışmalarla sağlık hizmetlerinin makro planlaması yapılabiliyor. Örneğin, en son geliştirdiğimiz bir kan bankası lokasyonu modeliyle, kan bankalarının konuşlanacağı bölgeler optimal olarak öneriliyor. Matematiksel tekniklerle -hastalığın teşhis ve tedavisinden tutun, makro sağlık sistemine kadar- tıbbın her alanında yaklaşık yüzde 10-40 civarında iyileştirmeler sağlanabiliyor.

- Örnek verebilir misiniz?

2008’de açıklanan bir çalışmaya göre; 1999-2000 arasındaki verilerden New York City’de sadece ambulans gecikmelerinden dolayı akut miyokardiyal infarktüs (kalp krizi) sebebiyle ölen hastaların sayısı 201-390 arasındaydı. Söz konusu dönemde kalp krizinden 9743 hasta hayatını yitirmiş. Bunun üzerine ambulans sisteminin daha etkin çalışması için matematiksel formüller geliştirilmiş. Böylece ölümlerin azaltılması hedeflenmiş.

-Siz matematiksel tıp alanında çalışıyorsunuz; ama Türkiye’de bu bilim pek bilinmiyor…

Maalesef bilinmiyor. Dünyada bu disiplinlerarası konuya gerçekten yoğun ilgi var. Ülkemizde de bu disiplinler arasındaki geçişlerin süratle sağlanması gerekiyor. Artık matematik, istatistik ve veri madenciliğinin de katkısıyla çoğu tıp problemine çözüm getirilebiliyor. Hastane, sağlık kuruluşları ve sağlık politikası yöneticileri de sayısal yöntemlerin gücünün farkına yeterince varmış değil henüz. Daha iyi hasta memnuniyeti, daha mutlu sağlık çalışanı, etkin sağlık servisi ve daha çok kâr için gerekli olduğunu düşünüyorum kantitatif yaklaşımların.

- Bu disiplinin Türkiye’de de etkin kullanılması için neler yapılmalı?

İÜ Onkoloji Enstitüsü’nde verdiğim ‘matematiksel onkoloji’ konulu konferansta ve benzeri toplantılarımda tıpçıların yakın ilgisini gördüm. Dolayısıyla dünyada olduğu gibi ülkemizde de, matematik ile tıp bir araya getirilebilir. Bu alanda ortak kongre, konferans düzenlenebilir. Ayrıca, tıp fakültelerinde ve lisansüstü sağlık bilimleri enstitülerinde sayısal derslerin artırılması yoluna gidilebilir. Dünyaya paralel olarak bu ilişki kurumsal hâle getirilebilir. Örneğin, University of Nottingham’daki ‘Center for Mathematical Medicine and Biology’ gibi merkez ya da enstitüler kurulabilir. Üniversitelerde ya da kurumsallaşmış hastanelerde bu konuda birimler kurulmalı. Dünyaca ünlü Harvard Business School’da 2005’te Sağlık İnisiyatifi birimi kuruldu. Bu birim son zamanlarda, yakınlarına böbrek vermek isteyip de böbreği uymayanlar arasında ‘böbrek değişimi’ne imkân tanıyan bir matematiksel model geliştirdi ve bu proje New England’da başarılı şekilde uygulanıyor.

MATEMATİKSEL TIBBIN KİTABINI YAZIYOR

İstanbul Üniversitesi (İÜ) Öğretim Üyesi Doç. Dr. Eyüp Çetin, Marmara Üniversitesi Matematik (İngilizce) lisansının ardından 2000 yılında Lefke Avrupa Üniversitesi’nden İşletme Master derecesi aldı. İÜ’de 2001’de başladığı Sayısal Yöntemler alanındaki doktorasını 2004’te tamamladı. 2008’de doçent unvanını alan Çetin, hâlen aynı üniversitenin Sayısal Yöntemler Anabilim Dalı’nda araştırmalarına devam ediyor. European Journal of Pure and Applied Mathematics Dergisi’nin kurucu editörlüğünü yürüten Çetin, Who’s Who in the World 2009’da yer aldı. Çetin bugünlerde, Türkçe literatürde bir ilk olacak ‘matematiksel tıp ve sağlık sistemleri’ adlı kitabını basıma hazırlıyor.

Prof. Dr. Hamparsum Bozdoğan (*) KENDİ YÖNTEMİYLE KALP KRİZİ RİSKİNİ TAHMİN EDİYOR

“Eğer tıp, istatistik ve veri madenciliği gibi teknikleri kendi alanlarında kullanabilirse gelecekte kanser ve kalp krizi gibi birçok hastalık erken teşhis sayesinde ilaçla tedavi edilebilir. Böylece pahalı ameliyatlara gerek kalmayabilir. Mesela biz sağlıklı bireylerin kalp krizine yakalanma riskini ortaya çıkaran orijinal bir istatistiksel model geliştirdik. Bu teknik benim geliştirdiğim Bilgi Karmaşıklığı Kriteri’ni (ICOMP) kullanıyor ve kalp-damar verilerini analiz ederek, muhtemel kriz riskini ortaya koyuyor. Mesela göğüs kanseri üzerinde de çalışmalarımız var. Teşhisinde iyi bir lezyonu tümör gibi tanımlamayı önlemek ve iyi huylu lezyonlar için önerilen biyopsi sayısını azaltmak için bilgisayar destekli teşhis sistemlerine yardımcı olacak bir veri madenciliği tekniği geliştirdik. Böylece hastaların göğüs kanseri teşhisi için biyopsiye girme oranını azalttık. Bu bağlamda şunu söylemem gerekir ki, ABD’deki sağlık kuruluşları hem klinik hem de yönetsel anlamda en iyi hizmet için sayısal teknikleri etkin ve yoğun biçimde kullanıyor. Bu açıdan Türkiye’de de karar vericiler matematiksel ve istatistiksel yaklaşımların önemini algılayıp kısa vadede sağlık sektörüne entegre etmeliler. Bu yolla halka kaliteli hizmet daha hızlı ve ekonomik olarak sunulabilir.”

(*)Tennessee Üniversitesi İstatistik Bölümü Öğretim Üyesi, Jefferson Prize Ödülü sahibi
Kaynakça:www.aksiyon.com.tr

                 www.matematikkulubü.org

ÖKLİT OYUNU

Öklit Oyunu

 

20. yüzyıla kadar herhangi bir alternatifi olmadan kabul gören geometriyi beş temel aksiyom üzerine kuran Öklit, geometri alanında gelmiş geçmiş en büyük  matematikçilerden biri olarak görülür. MÖ 330 yıllarında İskenderiye’de doğmasının dışında ona ilişkin çok az bilgi günümüze ulaşabilmiştir. Ancak Elementler adlı kitabıyla geometrinin temellerini oluşturarak bugün bile en tanınmış matematikçilerden biri olmayı başarabilmiştir. Öklit’in çalışmaları yalnızca geometriyle sınırlı değildi. Aritmetik, optik ve gökbilimle ilgili olarak da birçok çalışması vardır. Şimdi Öklit’in aritmetik alanındaki bölünebilme çalışmalarına atfen üretilen eğlenceli bir oyunu sizlere aktaracağız.

İki kişiyle oynanan bu oyunun kuralı gerçekten çok basit: Öncelikle bir kağıt üzerine birbirine eşit olmayan rasgele iki pozitif tam sayı yazıyoruz. Oyuna başlayan kişi, iki sayının pozitif farkını kağıda üçüncü sayı olarak yazıyor. Artık kağıdın üzerinde üç değişik sayı bulunuyor. Sıradaki oyuncunun amacı, kağıt üzerindeki üç sayıdan ikisini seçerek bu iki sayının pozitif farkını kağıttaki dördüncü ‘farklı’ sayı olarak yazmak. Eğer seçilen ikilinin farkı zaten kağıtta bulunuyorsa, bu iki sayı seçilemez. Oyun bu şekilde kağıt üzerindeki sayıların artmasıyla sürüyor, ta ki herhangi bir oyuncu kağıda yazabileceği (var olanların dışında bir sonuç veren) bir sayı ikilisi bulamayıncaya kadar. Örneğin, oyun 3 ve 5 sayılarıyla başlasın. 1. oyuncu mecbur olarak kağıda 2 yazacaktır (5-3=2). Ardından 2. oyuncu 2,3 ve 5 sayıları arasından 2 ve 3′ü seçip kağıda 1 yazar (3-2=1). Sıra yeniden 1. oyuncuya geldiğinde kağıtta 1,2,3 ve 5 sayıları vardır. O da 1 ile 5′i seçerek kağıda 4 yazar (5-1=4). Böylece kağıtta 1,2,3,4 ve 5 sayıları yer alır. 2.  oyuncunun seçeceği herhangi iki sayının farkı mutlaka kağıt üzerinde yer aldığı için 2. oyuncu oyunu kaybetmiş olur.

Şimdi gelelim sorumuza: Böyle bir oyuna başlanan iki sayıya bağlı olarak kazanma stratejinizi nasıl belirlersiniz? Eğer oyuna kimin başlayacağına karar verme şansızın olursa,her seferinde kazanmayı garanti edebilir misiniz?

Bilim ve Teknik - sayı:493

MATEMATİKSEL ESPRİLER

DOĞAL SAYILAR

Doğal sayılar sağlığınız için daha yararlıdır.

DESCARTES

Rene Descartes bir gün bir lokantada yemek yerken garson gelir ve başka birşey yemeyi düşünüp düşünmediğini sorar. Descartes bunun üzerine - Düşünmüyorum. yanıtını verir ve birden ortadan kaybolmaya başlar.

SON GÜNÜNÜZDE NE YAPARDINIZ?

Ömrümün son gününü bir matematik sınıfında geçirmek isterdim. Böylece çok daha uzun bir son gün yaşamış olurdum. 83 - 7

Soru: 83'ten 7'yi kaç kez çıkarabilirsiniz ve sonuçta kaç kalır?
Cevap:İstediğim kadar çıkarabilirim. Sonuçta hep 76 kalır.

SABİT KARELER

Soru:Kareleri hareket etmekten koruyan nedir? Cevap:Karekökleri

BARİZ Mİ?

Öğrenci sınav kağıdında bir adımı bariz diyerek geçmiştir. Değerlendirme sonrası sınav kağıtları kontrol edilirken o kısımda bir not görür. Asistan yazmıştır ki: - İlk bakışta pekte bariz gelmemişti fakat üzerinde bir saat düşündükten sonra bariz olduğunu anladım.

İNSAN TÜRLERİ

I İki çeşit insan vardır; insanların ikiye ayrılabileceğine inananlar ve buna inanmayanlar.

İNSAN TÜRLERİ II

İki tür insan vardır: bu iki kategoriden birine sokulabilenler ve sokulamayanlar.

İNSAN TÜRLERİ III

10 çeşit insan vardır. İkilik sayı düzenini anlayanlar ve anlamayanlar.

MATEMATİKÇİ TÜRLERİ

Üç çesit matematikçi vardır: saymasını bilenler ve saymasını bilmeyenler.

ANALİZ

Analizin de bir limiti vardır. YAŞLI

MATEMATİKÇİLER

Matematikçiler yaşlanınca ölmezler, sadece bir takım fonksiyonlarını kaybederler.

'e' SAYISI NİÇİN 'pi' SAYINDAN DAHA ÜSTÜNDÜR?

Telaffuzu daha kolaydır.
'e' sayısı klavyede kolayca bulunabilir, fakat 'pi' sayısı öyle değildir.
ln(pi1) acaip bir sayıdır, fakat ln(e1) 1'dir.
'e' sayısı analizde kullanılır, fakat 'pi' sayısı bebek geometrisinde bile kullanılır.
Çarkıfelek yarışmasında en çok kullanılan ünlü harf 'e''dir.
'e' sayısı Euler sayısı demektir, 'pi' sayısının böyle bir anlamı yoktur
'e' sayısını kullanabilmek için Yunan alfabesine bulaşmanız gerekmez.

'pi' SAYISI NİÇİN 'e' SAYINDAN DAHA ÜSTÜNDÜR?

'e' sayısını telaffuz etmek fazlasıyla kolaydır.
'e' sayısı 2,718281828459045... şeklinde devam ettiğinden ezberlenmesi çok kolaydır, halbuki 'pi' sayısını ezberlemek hüner ister.
'e' sayısına kolayca ulaşabilirsiniz, klavyede bile vardır. Fakat 'pi' sayısı asil bir sayı olduğundan ona ulaşabilmek için Word programının 'Sembol ekle' kısmına girmelisiniz.
'e' sayısının sonsuz seriler olarak ifade etmek kolaydır, 'pi' sayısını ifade edebilmekse oldukça zordur.
'e' sayısını Analiz derslerine başladığınızda görür ve anlarsınız, fakat 'pi' sayısını görmenizin üzerinden yıllar geçer ve hala anlamamışsınızdır.
İnsanlar Euler sayısı (e) ile Euler sabiti (gama) sayılarını kolayca karıştırabilirler, fakat tek bir 'pi' sayısı olduğundan 'pi' sayısı için böyle bir durum yoktur.
'e' sayısı bir kişinin ismini temsil eder, fakat 'pi' sayısı kendini temsil eder.
'pi' demek 'Euler sayısı' demekten çok daha kolaydır. 'pi' diyebilmek için 'Euler' isminin 'Öyler' olarak okunduğunu bilmenize gerek yoktur.

KOMPLEKS HAYAT

Hayat komplekstir. Gerçek ve sanal bileşenleri vardır.

BÜYÜK BEYİN

Küçük beyinler kişileri konuşur, orta beyinler olayları, büyük beyinlerse fikirleri tartışır. Daha büyük beyinlerse matematikle uğraşır.

YARDIM HATTI

Matematik problemleriniz mi var? 0-800-[(10x)(13i)^2]-[sin(xy)/2.362x] numaralı telefonu arayın yeter.



TÜM SAYILAR SIKICIDIR

Teorem: Tüm sayılar sıkıcıdır. İspat: Tersini düşünelim. x sayısı sıkıcı olmayan bir sayı olsun. Amaan, boşver...

TÜM POZİTİF TAMSAYILAR İLGİNÇTİR

Teorem: Tüm pozitif tamsayılar ilginçtir. İspat: Tersini varsayalım.O halde ilginç olmayan tamsayıların içinde biri bulunabilir ki en küçükleridir. Hey, bu çok ilginç! Çelişki...

TÜM ATLAR AYNI RENKTEDİR

Teorem: Tüm atlar aynı renktedir. İspat: Tümevarım kullanalım. n = 1 için ifadenin doğruluğu açıktır (bir at aynı renktedir). n = k için iddianın doğru olduğunu kabul edelim, yani k tane at aynı renktedir. n = k + 1 için ispatlamalıyız. k + 1 tane at gözönüne alalım ve bunlara 1'den k+1'e kadar numaralar verelim. '1' numaralı atı dışarıya alırsak az önceki kabulümüzden dolayı kalan k tane at aynı renkte olacaktır. Aynı işlemi '2', '3', ... , 'k+1' numaralı atlar için tekrarladığımızda da aynı durum olacaktır. Dolayısıyla tüm atlar aynı renktedir.

HERŞEY AYNI RENKTEDİR

Teorem: Herşey aynı renktedir. İspat: Bir önceki teorem kullanılarak denebilir ki: "Her x için, eğer x bir atsa, x aynı
renktedir". Burada kullanılan "x bir atsa" ifadesi herşey için kullanılabileceğinden herşey
aynı renktedir.
=) Kaynak:www.matematikkulubü.org

MATEMATİK KARİKATÜRLERİ

MATEMATİKTE İLKLER

 

İlk Defa Sıfırın Kullanılması

Harezmî,9. yy’da sıfırı buldu. Daha önceki yıllarda sıfır yerine boşluk bırakılıyordu. Bu da zaman zaman işlem hatalarına yol açıyordu.İlk olarak Türk matematikçi sıfırı Avrupalılara tanıttı ve hemen kabul gördü.
 İlk Logaritma Cetveli 1614 yılında İskoç Napier tarafından bulundu.
 İlk Defa Sinüsün KullanılmasıBattanî,10.yy’da sinüs ile hesaplar yapmaya başladı.
 İlk Defa Tanjantın Kullanılması Ebu’l Vefa,10.yy’da matematiğe tanjantı getirdi.
 İlk Defa Algoritmanın Kullanılması Harezmî,9. yy’da.(Algoritma ismi Harezmî’nin değişmiş hâlidir.)
 İlk Binom Açılımı Ömer Hayyam. 11.yy.’da buldu.
 İlk Pascal Üçgeni Ömer Hayyam. 11.yy.’da buldu.
 Pi Sayısının Hesaplanan En Büyük Değeri Yıllarca pi sayısının tam değeri bulunamadı. Günümüzde ise 1 milyarıncı basamağa kadar biliniyor.
İsimlendirilmiş En Büyük Sayı 10 üzeri 100 sayısı (1 ve yanında 100 tane sıfır) googol olarak adlandırılır.
Roma Rakamı İle Yazılan En Uzun Sayı 3888 sayısı: MMMDCCCLXXXVIII
İlk İnternet 1958 yılında Amerikan ordusunun kendi arasında haberleşmek için kurduğu ağ ilk internet ağıdır.Daha sonra yaygınlaşan sistem,70’li yıllarda halka açıldı.Fakat en büyük ilerleyişini 90’larda yaptı.
Mors Alfabesinin İlk Kullanılması 1843’te Samuel Morse icat etti. Nokta ve çizgilerden oluşan morse alfabesinin en bilinen mesajı S.O.S’tur.
İlk Makine M.Ö. 3500 yıllarında Sümerliler tarafından yapılan su çekme makinesi bilinen ilk makinedir.
İlk Daktilo 1808 yılında İtalyan bir gazeteci tarafından yapıldı. Önceki basit örneklerine çok daha kullanışlı ve dayanıklı idi.
İlk Fotokopi Makinesi 1938’de Carlson yaptı.
İlk Bilgisayar John Mauchy ve Presper Eckert 1946 yılında ENIAC adlı bilgisyarı yaptı.Bu devasa bilgisayar 10.000 dolara bile alıcı bulabiliyordu.

NEDEN BİLİNMEYENE X DENİR?

İşte sorunun cevabı:

MATEMATİK FIKRALARI

UÇAK YOLCULUĞU
İki Matematikçi bir uçak seyahatine başlarlar. Havalandıktan bir saat sonra bir anons duyulur; - Sayın yolcularımız. Uçağımızın dört motorundan biri arızalanmıştır. Endişe etmeyiniz. Üç motorla uçuşu tamamlayabiliriz. Fakat beş saat sürecek yolculuğumuz yedi saate uzamıştır.Yola devam ederler. Kısa bir süre sonra yeni bir anons duyulur; - Sayın yolcularımız. Uçağımızın sağlam olan üç motorundan biri arızalanmıştır. Endişe etmeyiniz. İki motorla uçuşu tamamlayabiliriz. Fakat yolculuğumuz on saate uzamıştır.Derken az bir vakit sonra üçüncü anons duyulur; - Sayın yolcularımız. Motorlarımızdan biri daha arızalanmıştır. Fakat paniğe kapılmayınız.Tek motorla da uçuşu tamamlayabiliriz. Ancak yolculuğumuz on sekiz saate uzamıştır.Bu son anons üzerine Matematikçilerden biri şöyle der;- Umarım bu son motor da arızalanmaz. Yoksa sonsuza kadar burada kalacağız.

İSKOÇ KOYUNLARI

Bir mühendis, bir fizikçi ve bir matematikçi İskoçya'da trenin penceresinden bakarken siyah bir koyun görürler, mühendis hemen atılır
- İskoçya'daki tüm koyunlar siyah.
der. Fizikçi söze karışır
- İskoçya'daki bazı koyunlar siyah.
der ve matematikçi son noktayı koyar:
- İskoçya'da en az bir tarafı siyah olan en az bir tane koyun vardır.

YANGIN
Bir mühendis ,bir fizikçi ve bir matematikçi bir oteldedir. Derken mühendis burnuna gelen duman kokusuyla uyanır,hole çıkar, bir de bakar ki bir yangın var. Eline geçirdiği bir kovaya su doldurarak yangını söndürmeye çalışır.Daha sonra fizikçi uyanır, aynı yangını görür ve yangın hortumunu bulur ve başlar hesap yapmaya; su basıncı, alevin şiddeti,aradaki mesafe falan derken hesaplara göre minimum miktarda suyla ve minimum enerjiyle yangını söndürür (ikinci versiyon yaptığı hesaplara göre yangının sönmeyeceği ortaya çıkar ve yatağına geri döner)Daha sonra matematikçi kalkar kokunun etkisiyle ve hole koşar bir de baksın yangın var.Derken çözüm aramaya koyulur.Derken yangın hortumunu bulur ve “çözümü buldum” diye bağırarak yatağına geri döner.


ÜÇGENiN TANIMI
İlkokulda, matematik dersinde öğretmen üçgenin alanını,çocuklara
şu şekilde öğretmiş: Bir üçkenarlının alanı, yatayımı ile dikleşiminin
vuruşumunun, ikiye bölümüdür. Çocuk bunu güzelce ezberlemiş.
Aksam babası evde sormuş:
- Bu gün okulda ne öğrendiniz?
- Matematik dersinde, bir üçkenarlının alanını öğrendik babacığım.
- Ya öyle mi, peki nasıl öğrendiniz?
- Bir üçkenarlının alanı, yatayımı ile dikleşiminin vuruşumunun,
ikiye bölümüdür.
- Yavrum, yanlış öğretmişler size. Doğrusu : Bir üçgenin alanı,
tabanı ile yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir.
O sırada, bir yandan gazetesini okuyan, bir yandan da torunuyla
oğlunun konuşmasını dinleyen dede, dayanamayıp söze girmiş :
- İkinizin de tanımı yanlış! Bir müsellesin mesaha-i sathiyesi,
kaidesiyle irtifaının hasıl-ı darpının nısfına müsavidir.


TASAVVUR
Bir matematikçi ve bir mühendis ünlü bir fizikçinin seminerine katılırlar. Seminer Kulza-Klein teorisi üzerinedir ve 9 boyutlu uzayda cereyan eden bir takım işlemler içermektedir. Matematikçinin seminerden oldukça keyif alır görünmesine karsın, mühendis çok zorlanmaktadır. Başı çatlayacak derecede ağrımaya başlayınca dayanamaz sorar:
- Bu garip ve zor şeyleri nasıl anlayabiliyorsun?
Matematikçi gayet sakin cevap verir:
- Sadece olayı tasavvur ediyorum.
- 9 boyutlu bir uzayı nasıl tasavvur edebilirsin ki?
- Aslında çok kolay. Sadece n boyutlu bir uzay tasavvur ediyorum. Daha sonra n ' yi 9'a götürüyorum.


MESLEK SEÇiMi
İki arkadaş hangi mesleği seçmeleri gerektiğine bir türlü karar veremezler ve bir danışmana giderler.
Danışman bunların problem çözme yeteneklerinin oldukça iyi olduğunu fark eder ve şöyle bir deney yapar: içinde bir gaz ocağı, bir masa ve masanın üstünde bir çaydanlık bulunan iki ayrı odaya onları sokar ve suyu kaynatmalarını ister. iki adam da aynı şekilde masanın üstünden çaydanlığı alıp ocağa koyar ve ocağı yakar. Danışman daha sonra onları aynı şekildeki iki ayrı odaya sokar fakat bu sefer
çaydanlıklar masanın üstünde değil, yerdedir. iki arkadaştan biri çaydanlığı yerden alır, ocağa koyar ve ocağı yakar. Danışman ona mühendis olmasını, çünkü her problemi ayrıca çözme yeteneğine sahip
olduğunu söyler. Diğer şahıs ise çaydanlığı önce masanın üstüne koyar, daha sonra masanın üstünden alıp ocağa koyar ve ocağı yakar. Danışman ona ise matematikçi olmasını, çünkü problemi daha önce çözülmüş bir probleme indirgediğini söyler.


KAYIP ANAHTARLAR
Bir pür, diğeri uygulamalı matematikçi olan iki kişi arabalarından inerler ve benzer şekilde elli metre yürüdükten sonra arabalarının anahtarlarını kaybettiklerini fark ederler. Uygulamalı matematikçi arabasının yanına döner ve arabasının yanından tekrar başlayarak gitmiş olduğu yolu arar ve anahtarlarını bulur. Pür matematikçi ise yolun karanlık olmasından dolayı diğer uçtaki daha aydınlık bir yere gider ve anahtarlarını orada arar.

İLGİNÇ MATEMATİK BİLGİLERİ

“+” ve “-” işaretleri nereden geldi?

             ”+” işareti Latin “et = ve, ekle” kelimesinden geliyor. Bu iki işaret 15. yüzyılda ticari kutu veya  sandıkların  ağırlıklarının fazla veya az olduklarını göstermek için kullanılırdı. 40 sene içinde muhasebeciler ve matematikçiler onları kullanmaya başladı. 

               “=” işaretini kim keşfetti?  

            1557 de Robert Recorde aynı uzunluktaki iki paralel çizginin eldeki diğer şeyler kadar eşit olduğuna karar vermişti. 

 

              Mükemmel sayı nedir? 

           Kendisi hariç, çarpanlarının toplamına eşit olan sayıya mükemmel sayı denir. 

             Örnek:  

          28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 

  

             Asal sayılar:  

           Kendisinden ve birden başka hiç bir sayıya tam olarak bölünemeyen sayılar. 2, 3, 5, 7, … gibi. 

 
            1 niçin asal değildir?

         1 asal kabul edilseydi, herhangi bir sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde birden fazla biçimde ifade edilebilirdi. Bu matematikte kabul edilmez. 

 
            Asal çarpan:
          Bir sayının asal sayı çarpanı.

             Bir sayının 0. kuvveti niye 1′dir de sıfır veya başka herhangi bir sayı değildir?  

     Bir sayının sıfırıncı kuvveti 1 olarak tanımlanır, böylece sayının her kuvveti öncekinden bir çarpan daha büyük olur. Yani,
20 = 1
21 = 2 = 2 x 1
22= 4 = 2 x 2
23 = 8 = 2 x 4
24= 16 = 2 x 8 …  

  

             1729 iki kübün toplamı olarak iki ayrı biçimde ifade edilebilen en küçük sayıdır. 

               1729 = 10^3 + 9^3 = 12^3 + 1^3

               Bunu ilk fark eden Hintli matematikçi Ramanujan’dır. İlginç olan bu işlemi daha sayıyı duyar duymaz zihninden yapmış olmasıdır. Bu sayıya Ramanujan sayısı denir. 

  

               İnsan saç telinin kalınlığının santimetrenin 3/400 u kadar olduğu tahmin ediliyor. Yani, 133 saç telini yan yana koyarsanız 1 cm olur. 

 

Şimdi de pisagor teoremini kanıtlayan Pythogoras hakkında bir öykü.  

  

Pytho bir gün bir demirci dükkanının önünden geçiyordu. Örse vuran çekiçlerin çıkardıkları ahenkli sesler ilgisini çekti ve durup dinlemeye başladı. 

5 demirci çalışıyordu ve her birinde farklı büyüklüklerde çekiç vardı. Pytho çekiçlerden düzenli olarak çıkan seslerin bir müzik parçasına benzediğini duyup hayret etti. Dinledikçe fark etti ki, her çekicin ağırlığının farklı olması, örse vurduklarında değişik notalardan ses vermesini sağlıyordu. Çekiç ne kadar ağırsa nota o kadar düşüktü. 

Sonra bir çekicin seslerin ahengini bozduğunu fark etti. Demircilerden çekiçleriyle bir deneme yapmak için izin istedi. Demirciler kabul etti. 

Her çekici dikkatle tarttı. Ahengi bozan çekicin basit bir sayı düzenine uymayan ağırlığa sahip olduğunu buldu. (Diğer çekiçlerin ağırlıkları, bir sayı dizisi oluşturacak şekildeydi.) İncelemelerine devam ettikçe, farklı büyüklüklerdeki çekiçlerle bir müzik skalasını nasıl oluşturabileceğini öğrendi. 

Bu, bir matematikçi tarafından müzikte yapılan en büyük ve en eski keşiflerden biriydi. 

 

Saniyede bir sayı

 Saniyede bir sayı söyleyerek ve günde 7 saat sayarak 1 milyara kadar saymak isteseydik, bunu ne kadar zamanda yapabilirdik?

 Cevap:sene.

Kaynakça:www.matemasuk.com

 

  

   

Fermat'ın Son Teoremi:
           Mesleği Avukatlık olan Fermat, arada bir matematikle de ilgilenirdi. Ama ne ilgilenmek. Aşağıdaki teorem, onun eseri. 1665 yılında 64 yaşında ölen Fermat'ın aşağıdaki teoremi, hâlâ ispatlanamadı. Bu problem üzerinde yıllarca çalışan ünlü alman matematikçi  Wolfskehl, 1908 yılında öldüğünde, vasiyet olarak 100bin mark bıraktı. Hem de bu problemi yüzyıl içinde çözecek ilk kişiye verilmek üzere!
Teorem şöyle:

n>2 ve a, b ve c tamsayı olmak üzere

aⁿ + bⁿ= cⁿ    çözümü olmadığını ispatlayın.

          Fermat bu teoremi yazarken kullandığı kağıdın altında çok az yer kaldığı için cevabı yazamadığını, halbuki çok güzel bir ispatı olduğunu yazmıştır. (Belki  Fermat ta cevabı bilmiyordu:))
Bir hatırlatma: Eğer rastgele n=54179653 sayısını formüle uygulayıp eşitliği sağlamadığını göstermediyseniz, bu sayının hâlâ doğru olma şansı var demektir.



Pascal Üçgeni:
          Pascal üçgeni, şekilde de görüldüğü gibi kenarlarda "1" olmak üzere her sayı, üstündeki iki sayının toplamı olarak yazılacak şekilde oluşturulur.

Pascal üçgeninin bazı özellikleri:

• Kenarlar "1"den oluşur
• ikinci(kırmızı) sıra, pozitif tamsayılar serisidir.
• Üçüncü(mavi) sıra, üçgen sayılardır. (1, 3, 6, 10 15,...)
• Aynı yöndeki sayıların(sarı) toplamı, seçtiğimiz son sayının ters yönündeki sayıya eşittir.
  (Örnek: 1+2+3+4+5+6+7=28, 1+4+10+20+35=70 gibi)
• Her sıradaki sayıların toplamı, 'sıfır'dan başlamak üzere "2"nin üslerini verir. 2⁰, 2¹, 2², 2³ ,2⁴ ,...
  (Örnek: 5. sıradaki sayıların toplamı, 1+4+6+4+1=16=2⁴ )
• Her sıra, yine 'sıfır'dan başlamak üzere kendi derecesinden bir polinomun katsayılarını verir. ( Örnek: (a+b)³=1a³+3ab²+3a²b+1b³)

Kaynakça: www.paradokslar.com
 

14 MART Pİ GÜNÜ
 

     Dünyada 14 Mart, tarihin 3,14 sayısına benzemesinden dolayı  "Pi Günü" olarak kutlanmaktadır. Pi günü Türkiye'de ilk defa 2007 yılında kutlanmıştır.
     Matematikçiler için özel bir gün olan pi gününde, dünyanın çeşitli yerlerinde matematik  geometri olimpiyatları ve pi sayısının virgülünden sonraki en fazla rakamını ezberleme yarışmaları düzenlenmektedir.
     Ayrıca bugün Albert Einstein’ın doğum günüdür. 14 Mart 1879



Pi Gününün Doğuşu 
Pi günü, bir fizikçi olan Larry Shaw tarafından ilk defa 1988 de San Francisco Exploratorium da kutlandı.2004 yılının Pi gününde "Bay Beyin" olarak tanınan Daniel Tammet, Pi sayısının virgülden sonraki 22,514 basamağını ezberden okuyarak önemli bir rekora imza atmıştı. Daniel Tammet' ı videodan izleyebilirsiniz.


                                                                                                                             
                                                                                                                                    Larry Shaw



 

 

kaynakça:www.bilim-teknoloji.com

Pİ SAYISI

 

Pi sayısı Babiller, Eski Mısırlılar ve pek çok eski uygarlık tarafından biliniyordu. Onlar, tüm çemberlerin çevresinin çapına bölümünün sabit bir sayıya eşit olduğunu fark etmişlerdi. Bu sabit sayının bulunması artık çapı bilinen her çemberin çevresinin hesaplanmasına imkan tanıyordu.
                        
   
Görüldüğü üzere pi sayısı aslında çok basit bir temele sahiptir ve değiştirilemez bir sabit orandır. Fakat aynı zamanda Pi sayısı bir irrasyonel sayı olduğundan, hiçbir zaman sonlu bir tamsayı düzeninde ifade edilemez ve virgülden sonra sonsuz sayıda tekrarsız rakam içerir.

Günümüzde pi sayısının virgülden sonraki en fazla basamağını hesaplayabilmek üzere birtakım yarışmalar yapılmaktadır. Şu an rekorun virgülden sonra 73 milyar basamak olduğu bilinmektedir.


Kaynaklar:
www.howstuffworks.com
www.wikipedia.org
www.bilgiustam.com